Por Santiago W. Bueno, Ph.D. Santiago, R.D. 03.06.2011
Pi es el número más famoso en matemáticas, siendo su único rival e (logaritmo neperiano). “Olvídese de todas las demás constantes en la naturaleza” (Tony Crilly), Pi siempre estará encabezando la lista. Pi es la longitud de la circunferencia de un círculo, dividida por el diámetro. EL valor de Pi es la proporción de estos dos valores y no depende del tamaño del círculo. Para un círculo de diámetro d y radio r:
Circunferencia = Pi * d = 2*Pi*r
Área = Pi*r2
Para una esfera de diámetro d y radio r:
Área de superficie = Pi*d2 = 4Pi*r2
Volumen = 4/3 Pi*r3
La proporción de la circunferencia con respecto al diámetro del círculo fue motivo de interés en la antigüedad. Ya para el año 2000 antes de Cristo (AC) los babilonios observaron que la circunferencia era aproximadamente tres veces mayor que el diámetro de un círculo dado. Pero no fue hasta el año 250 AC, cuando Arquímedes de Syracuse desarrollo la teoría matemática de Pi. Arquímedes estimo el valor de Pi entre 223/71 y 220/70, de manera que es a Arquímedes que debemos la aproximación aceptada de Pi y que corresponde a la fracción 22/7. El símbolo de Pi (π), fue concebido por William Jones, un Ingles de Welsh que llego a ser vicepresidente de la Real Academia de Ciencias de Londres en el siglo XVIII. El físico-matemático Leonhard Euler fue quien popularizo Pi en el contexto de la proporción del círculo.
Por su parte el logaritmo neperiano e no es tan antiguo como Pi, pero es también una constante matemática sumamente importante cuando hablamos de crecimiento ya sea de poblaciones, dinero o cualquier otra cantidad física. El valor aproximado del numero e es 2.71828. Y porque es este número tan importante? La historia comienza en el siglo XVII, cuando Jacob Bernoulli, quien pertenecía a la famosa familia de ilustres Bernoulis de Suiza comenzó a trabajar en 1963 con el problema del interés compuesto.
Suponga que usted tiene en depósito $100 y que a usted le pagan 100% de interés anual. De manera que al final del año usted tendría en el principal $100, más el interés ganado que son $100 para una suma total de $200. Supongamos que en vez de 100%, el interés se lo cortan por mitad a 50% pero que se lo van a pagar cada medio año. A los seis meses usted tendrá ganado por intereses $50 y el principal habrá crecido a $150. Cuando pasa la otra mitad de año, el interés generado por los $150 seria de $75. De manera que al final de un año completo, con el interés a 50% aplicado al principal cada seis meses, $100 crecen hasta $225 o $25 más que si el interés fuera a un 100% pero pagado anualmente. Puede que no parezca mucho pero si en vez de $100 fueran $10,000; la cantidad ganada será de $250 a final de un año. Al componer cada medio año, se gana una cantidad extra de $250. Pero si nosotros ganamos al componer, los bancos también ganan en una proporción ligeramente mayor en el dinero que se les debe.
Supónganse que el año lo dividimos en cuatro cuartos y el interés es reducido a un cuarto también (25%) y aplicado cada cuatro meses. Repitiendo los cálculos anteriores encontramos que los $100 crecerían hasta 2,441.41. De manera que a manera que dividimos mas el año, aunque reduzcamos el interés pagado en la misma proporción, nos es más conveniente pues el dinero crece más.
Crecerá nuestro dinero mas allá de todos los limites y nos haremos millonarios? Si seguimos dividiendo el año en unidades más pequeñas como se muestra en la tabla abajo para el caso de $1, este proceso alcanza un “limite” hasta un numero constante. El único periodo real de componer es equivalente a un día (que es el periodo normalmente utilizado por los bancos). El mensaje matemático es que este “límite” es conocido por los matemáticos como e, y es la cantidad en que $100 crecen si se compone continuamente. Es esto bueno o malo? Usted conoce la respuesta: si está ahorrando es bueno; si está cogiendo prestado, no lo es.
Interés compuesto cada | Cantidad acumulada al final |
Año | $2.00000 |
Seis meses | $2.25000 |
Cuatro meses | $2.44141 |
Mensual | $2.61304 |
Semanal | $2.69260 |
Día | $2.71457 |
Hora | $2.71813 |
Minuto | $2.71828 |
Segundo | $2.71828 |
Es e importante? El principal lugar donde se encuentra la constante e es en crecimiento económico y de poblaciones. También e se encuentra asociado a probabilidades y el decaimiento radioactivo, entre otros usos.
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